Análisis Funcional by Juan Carlos Cabello Píñar PDF

By Juan Carlos Cabello Píñar

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Sean X un espacio normado, M un subespacio vectorial de X. Pruébese que si M es de dimensión finita entonces, para cada x ∈ X, existe m ∈ M tal que x − m = dist(x, M ). 4. Sea X un espacio normado de dimensión finita y M un subespacio cerrado no total de X. Pruébese que existe un vector x ∈ SX tal que d(x, M ) = 1. 5. Sea X un espacio normado de dimensión infinita y sea {en } una sucesión de vectores linealmente independientes en X. Sea B una base algebraica de X, conteniendo la sucesión {en }, y consideremos el funcional lineal f : X −→ K, definido sobre los elementos de B mediante: f (en ) = n en , n ∈ N y f (x) = 0 si x ∈ B \ {en : n ∈ N}.

7 Sea X un espacio normado y A y B dos subconjuntos no vacíos y convexos de X. Si int(A) = ∅ y B ∩ int(A) = ∅, entonces existe f ∈ X ∗ y α ∈ R tal que ef (a) ≤ α ≤ ef (b), ∀a ∈ A, b ∈ B. Además ef (x) < α ∀x ∈ int(A). ✷ Si ahora, en el resultado anterior, tomamos A cerrado y B = {x0 } un punto de la frontera de A llegamos a: 54 Capítulo 2. 8 (Existencia de funcionales soporte). Sea X un espacio normado y A un subconjunto convexo y cerrado de X, con interior no vacío. Entonces para cada punto x0 en la frontera de A existe un funcional f ∈ SX ∗ tal que ef (x0 ) = max{ ef (x) : x ∈ A}.

Vamos a dedicar este capítulo al desarrollo de estos dos principios. El primer autor en notar que cualquier biyección lineal y continua entre espacios de Banach siempre es abierta fue Banach. Posteriormente, Schauder obtuvo una demostración del mismo resultado utilizando el Teorema de Baire. En la primera lección de este capítulo presentamos y desarrollamos el Teorema de Baire para poder obtener a partir de él el Teorema de la aplicación abierta. La segunda lección de este capítulo presenta diferentes reformulaciones del Teorema de la aplicación abierta, nos referimos al Teorema de los isomorfismos de Banach y al Teorema de la gráfica cerrada.

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by Daniel
4.4

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